解：$(1) $∵将$ \triangle A C D $沿$ C D $所在直线翻折， 使点$ A $恰好落在抛物线上的点$ E $处
点$ A $的坐标为$ (3，$$0) ，$ 点$ D $的坐标为$ (1，$$0) $
∴点$ E $的坐标为$ (-1，$$0) $
将$ A(3，$$0)，$$ E(-1，$$0) $代入$ y=a x^2+ b x+3 ，$ 得$ \begin{cases}9\ \mathrm {a}+3\ \mathrm {b}+3=0 \\a-b+3=0\end{cases} $解得$\begin{cases}a=-1 \\b=2\end{cases}$
抛物线对应的函数解析式为$ y=-x^2+2 x+3 $
$ (2) $当$ x=0 $时，$ y=3$
∴点$ B $的坐标为$ (0，$$3) $
设直线$ A B $对应的函数解析式为$ y=k x+n(k \neq 0) $
将$ A(3，$$0)，$$ B(0，$$3) $代入$ y=k x+n ，$ 得$\begin{cases}3\ \mathrm {k}+n=0 \\n=3\end{cases} $ 解得$\begin{cases}k=-1 \\n=3\end{cases}$
直线$ A B $对应的函数解析式为$ y=-x+3 $
∵点$ C $在直线$ A B $上，$ C D \perp x $轴于点$ D(1，$$0)$
∴当$ x=1 $时，$ y=-1+ 3=2 $
∴点$ C $的坐标为$ (1，$$2) $
∵点$ A $的坐标为$ (3，$$0) ，$ 点$ B $的 坐标为$ (0，$$3) ，$ 点$ C $的坐标为$ (1，$$2) ，$ 点$ E $的坐标为$ (-1，$$0) $
∴$A E=4，$$ O B=3，$$ C D=2$
∴$S_{\triangle B C E}=S_{\triangle A B E}-S_{\triangle A C E}= \frac {1}{2}\ \mathrm {A} E ·O B-\frac {1}{2}\ \mathrm {A} E ·C D=\frac {1}{2} ×4 ×3-\frac {1}{2} ×4 ×2=2 $
∴$\triangle B C E $的面积为$ 2 $
$(3) $存在
∵点$ A $的坐标为$ (3，$$0) ，$ 点$ B $的坐标为$ (0，$$3)$
∴$O A=O B=3 $
∵$\angle A O B=90°$
∴易得$ \angle B A E=45° $
∵点$ P $在抛物线上
∴设点$ P $的坐标为$ (m ，$$ -\mathrm {m^2}+2\ \mathrm {m}+3 )$
①当点$ P $在$ x $轴上方时， 记为点$ P_1 $
如图， 过 点$ P_1 $作$ P_1\ \mathrm {M} \perp x $轴于点$ M $
在$ Rt \triangle E M P_1 $中，$ \angle P_1\ \mathrm {E} A=45° ，$$ \angle P_1\ \mathrm {M} E=90°$
∴易得$ E M=P_1\ \mathrm {M} ，$ 即$ m-(-1)=-\mathrm {m^2}+ 2\ \mathrm {m}+3 $
解得$ m_1=-1 ($不合题意， 舍去)，$ m_2=2 $
当$ x=2 $时，$ y=-2^2+2 ×2+3=3$
∴点$ P_1 $的坐标为$ (2，$$3) $
② 当点$ P $在$ x $轴下方时， 记为点$ P_2 $
如图， 过点$ P_2 $作$ P_2\ \mathrm {N} \perp x $轴于点$ N ，$在$Rt△ENP_2$中，$∠P_2EN=45°，$$∠P_2NE=90°$
∴易得$EN=P_2N，$即$m-(-1)=-(-m_2+2m+3)$
解得$m_3=-1($不合题意，舍去)，$m_4=4$
当$x=4$时，$y=-4^2+2×4+3=- 5$
∴点$P_2$的坐标为$(4，$$-5)$
综上所述，抛物线上存在一点$P，$使$∠PEA=∠BAE，$点$P$的坐标为$(2，$$3)$或$(4，$$- 5)$
