解：$(1)$当$x=13$时，$2x-20=6($元$)$
答：运费是$6$元$.$
$(2)$依题意，得$2x-20=32$，解得$x=26$
答：物品的质量是$26$千克$.$
$(3)$设该客户所寄首件物品的质量为$2m $千克，则第二件物品的质量为$5m $千克
当$m≤5$时，$0+10m+10=60$，解得$m=5$
∴$2m=10$，$5m=25$
当$m>5$时，$4m-20+10m+10=60$
解得$m=5($不合题意，舍去)
答：首件物品的质量为$10$千克，第二件物品的质量为$25$千克$.$
