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C

C

D

直角

不是

$ (1)证明：∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC=90°$

$ ∵BD= 1，AD = 2，CD=4$

$ ∴BC=BD+ CD=5，AB^2= BD^2+ AD^2=5，$

$AC^2= AD^2+CD^2=20$

$ ∴AB^2+AC^2 =BC^2$

$ ∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°$

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$证明：∵AB⊥BC$

$∴在Rt△ABC中，AC²=AB²+BC²=5$

$∵CD=2，AD=3$

$∴AC²+CD²=AD²$

$∴△ACD是以∠ACD为直角的直角三角形$

$∴AC⊥CD$

$解：(2)∵AD⊥BC，∠BAC=90°，$

$AB=\sqrt {5}，BC=5$

$∴当△ABP 为等腰三角形时，$

$分类讨论如下：$

$①若AP=BP，$

$则∠BAP=∠B$

$∵∠BAP+∠CAP=90°，$

$∠B+∠C=90°$

$∴∠CAP= ∠C$

$∴AP=CP$

$∴BP=CP=\frac 12BC= \frac 52$

$②若AB=AP，$

$则BP=2BD=2$

$综上所述，BP 的长为\frac 52或2 $

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