$解：(1)设BC与⊙O交于点M，当t=2.5时，BE=2.5，$
$∵EF=10，∴OE=\frac {1}{2}EF=5，$
$∴OB=2.5，∴EB=OB，$
$在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∴ME=MO，$
$又∵MO=EO，∴ME=EO=MO，$
$∴△MOE是等边三角形，∴∠EOM=60°，$
$∴l_{ME}=\frac {60π×5}{180}=\frac {5π}{3}.$
$∴半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为\frac {5π}{3}.$
$(2)连接GO，HO，∵∠GOH=90°，∴∠AOG+∠BOH=90°，$
$∵∠AGO+∠AOG=90°，∴∠AGO=∠BOH，$
$在△AGO和△OBH中，$
$\begin{cases}∠AGO=∠BOH\\∠GAO=∠HBO\\OG=OH\end{cases}$
$∴△AGO≌△BOH(\mathrm {AAS})，$
$∴OB=AG=t-5，∵AB=7，∴AE=t-7，$
$∴AO=5-(t-7)=12-t，在Rt△AGO中，AG^2+AO^2=OG^2，$
$∴(t-5)^2+(12-t)^2=5^2，$
$解得：t_1=8，t_2=9，即t的值为8或9．$
