$解：如图， 过点 A 作 A B \perp x 轴， 垂足为 B，\ $
$则 \angle O B A=90^{\circ}.$
$因为 A(2，2 \sqrt{3})，$
$所以 O B=2， A B=2 \sqrt{3}，$
$所以 O A=\sqrt{O B^2+A B^2}=4，$
$所以 \cos \angle A O B=\frac {O B}{O A}=\frac 12$
$所以 \angle A O B=60^{\circ}.$
$作 O A 的垂直平分线交 x 轴 于点 P， 交 O A 于点 Q，\ $
$则Q O=\frac {1}{2}\ \mathrm {O}\ \mathrm {A}=2， \angle P Q O=90^{\circ}，$
$所以 P O=\frac {Q O}{\cos \angle A O B}=4，\ $
$\angle O P Q=90^{\circ}-\angle A O B=30^{\circ}.$
$因为 N(1，0)，$
$所以 O N=1，$
$所以 P N=P O-O N=3.$
$因为 M O=M A，$
$所以点 M 在 P Q 上，$
$所以当 M N \perp P Q 时， M N 的长最小，\ $
$此时 M N=\frac {1}{2}\ \mathrm {P}\ \mathrm {N}=\frac {3}{2}.$
$故 M N 长的最小值为 \frac {3}{2}.$
