第57页 - 通城学典课时作业本八年级数学人教版南通专版

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$证明:∵AB=AC,AD是边BC上的中线，$

$∴DB=DC,AD垂直平分BC.$

$∴EB=EC,FB=FC.$

$∵CF//BE,$

$∴∠BED=∠CFD,∠EBD=∠FCD.$

$∵DB=DC,$

$∴△EBD≌△FCD.$

$∴BE=CF.$

$∴EB=BF=FC=EC.∴四边形BECF是菱形$

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$证明:(1)∵BD平分∠ABC,$

$∴∠ABD=∠DBC.$

$∵AD//BC,$

$∴∠ADB=∠DBC.\ $

$∴ ∠ABD=∠ADB.\ $

$∴ AB=AD.$

$∵AB=BC，$

$∴AD=BC.$

$又∵AD//BC,$

$∴四边形ABCD是平行四边形$

$∵AB=BC，$

$∴四边形ABCD是菱形$

$解:(2)∵四边形ABCD是菱形，$

$∴ BO=DO,CD=BC.$

$∵ DE⊥BC，$

$∴OE=\frac{1}{2}\ \mathrm {BD}.\ $

$∵ OE=2\sqrt{5}，$

$∴ BD=4\sqrt{5}$

$∴ BE=\sqrt{BD²-DE²}= \sqrt{(4\sqrt{5})²-4²}=8.$

$设CE=x，$

$则BC=BE-CE=8-x，$

$∴CD=BC=8-x.$

$在Rt△CDE中，由勾股定理，得$

$CD²=CE²+DE²，$

$即(8-x)²=x²+4²，$

$解得x=3.$

$∴CE的长为3$

$证明： (1) 由折叠, 得 \angle D A E=\angle D^{\prime}\ \mathrm {A}\ \mathrm {E} ，\ $

$\angle D E A=\angle D^{\prime}\ \mathrm {E}\ \mathrm {A}，$

$\angle A D E=\angle A D^{\prime}\ \mathrm {E}=60^{\circ}$

$\because 四边形 A B C D 是平行四边形$

$\therefore A B=C D=2, A D=B C=1, A B / / C D$

$\therefore \angle D E A=\angle D^{\prime}\ \mathrm {A}\ \mathrm {E}$

$\therefore \angle D^{\prime}\ \mathrm {E}\ \mathrm {A}=\angle D^{\prime}\ \mathrm {A}\ \mathrm {E}$

$\therefore D^{\prime}\ \mathrm {E}=D^{\prime}\ \mathrm {A}$

$\because \angle A D^{\prime}\ \mathrm {E}=60^{\circ}$

$\therefore \triangle A D^{\prime}\ \mathrm {E} 是等边三角形$

$\therefore 易知 A D^{\prime}= E D^{\prime}=D E=A D=1$

$\therefore C E=D^{\prime}\ \mathrm {B}=1$

$又 \because B C=1$

$\therefore E D^{\prime}= D^{\prime}\ \mathrm {B}=B C=C E$

$\therefore 四边形 B C E D^{\prime} 是菱形$

$解:(2) 如图, 连接 B D 交 A E 于点 P , 连接 P D^{\prime} ,\ $

$过点 D 作 D G \perp B A , 交 B A 的延长线于点 G .$

$易得点 D 与点 D^{\prime} 关于直线 l 对称$

$\therefore P D= P D^{\prime}$

$\therefore B D 的长即为 P D^{\prime}+P B 的最小值$

$\because C D / / A B$

$\therefore \angle D A G=\angle A D C=60^{\circ}$

$\because A D=1,$

$\therefore 在 Rt \triangle A D G 中, 易得 A G=\frac{1}{2}, D G=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\therefore B G=A G+A B=\frac{5}{2}$

$\therefore 在 Rt \triangle B D G 中，由勾股定理得$

$BD=\sqrt{DG^2+BG^2}=\sqrt{7}$

$∴P'D+PB的最小值为\sqrt{7}$