第59页 - 通城学典课时作业本八年级数学人教版南通专版

A

$\frac{17}{2}$

$4\sqrt{5} $

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$解:(1)∵四边形ABCD是正方形,FD⊥DE$

$∴ AD=CD，∠A=∠DCB=∠ADC= 90°,∠EDF=90°$

$∴∠ADE =90°-∠EDC=∠CDF,∠A=∠DCF=90°$

$在△DAE和△DCF中$

$\begin{cases}∠ADE=∠CDF\\AD=CD\\∠A=∠DCF\end{cases}$

$∴△DAE≌△DCF$

$∴ AE=CF$

$∵四边形ABCD是正方形，AB=6$

$∴易得BD=6\sqrt{2}$

$∵ BD=BF$

$∴CF= BF- BC=BD- BC=6\sqrt{2}-6$

$∴ AE=6\sqrt{2}-6$

$∴ BE=AB-AE=6-(6\sqrt{2}-6)$

$=12-6\sqrt{2}$

$证明:(2)在HF上取一点P ,使FP=EH,$

$连接DP$

$∵四边形ABCD是正方形$

$∴易得∠DBC=45°$

$由(1),知△DAE≌△DCF$

$∴DE=DF$

$∴∠DEF=∠DFE=45°$

$在△DEH和△DFP中$

$\begin{cases}DE=DF\\∠DEH=∠DFP\\EH=FP\end{cases}$

$∴△DEH≌△DFP$

$∴DH=DP,∠EDH=∠FDP$

$∵∠DEF=∠HBF= 45°，∠EHD =∠BHF，∠ADE = 2∠BFE$

$∴∠EDH =∠BFE=\frac 12∠ADE$

$=\frac 12(45°-∠EDH)$

$∴∠EDH=15°，∠FDP=15°$

$∴∠HDP=90°-15°-15°=60°$

$∴△DHP是等边三角形$

$∴ HD=HP$

$∵ HF=FP+ HP$

$∴HF=HE+HD$

$证明：(1)∵四边形ABCD是正方形$

$∴ AB=AD，∠BAE =∠DAE$

$在△BAE和△DAE中$

$\begin{cases}AB=AD\\∠BAE=∠DAE\\AE=AE\end{cases}$

$∴△BAE≌△DAE$

$∴ BE = DE$

$解:(2)①补全图形如图所示$

$②DG=\sqrt 2BE，如图，连接 EG$

$∵四边形ABCD是正方形，易得∠ECF=45°$

$∴EF⊥AC$

$∴∠FEC=90°$

$∴∠EFC=∠ECF=45°$

$∴EF=EC，∠EFB=∠ECG$

$在△BFE和△GCE中$

$\begin{cases}BF=GC\\∠EFB=∠ECG\\EF= EC\end{cases}$

$∴△BFE≌△GCE$

$∴ BE = GE，∠BEF= ∠GEC$

$由(1),知△BAE≌△DAE$

$∴BE= DE，∠AEB=∠AED$

$∴DE=GE$

$∵∠AEB +∠BEF= 90°$

$∴∠AED+∠GEC=90°$

$∴∠DEG=90°$

$在Rt△DEG中，$

$由勾股定理,得DE^2 +EG^2=DG^2$

$∴2DE^2=DG^2$

$∴ DG=\sqrt{2}DE=\sqrt{2}\ \mathrm {BE}$