$解：(1)EF⊥AC ，如图，连接AE，CE$ $∵∠BAD=90°，E是BD的中点$ $∴AE=\frac 12BD$ $∵∠DCB=90°，E是BD的中点$ $∴CE=\frac 12BD$ $∴ AE=CE$ $∵F是AC的中点$ $∴EF⊥AC$
$解:(2) ∵BD=10，∠BAD=∠DCB=90$ $∴ AE=CE= \frac 12BD=5$ $∵ AC=8,F是AC的中点$ $∴CF=\frac 12AC=4$ $∵EF⊥AC$ $∴∠CFE=90°$ $∴在Rt△CEF中，由勾股定理，得$ $EF=\sqrt{CE^2-CF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
$证明：如图,取BC的中点M,连接EM,FM$ $∵ M,F分别是BC ,CD的中点$ $∴MF//BD,MF=\frac 12BD$ $同理，可得ME//AC,ME=\frac 12AC$ $∵AC= BD$ $∴ME=MF$ $∴∠MEF=∠MFE$ $∵MF //BD$ $∴∠MFE =∠OGH$ $同理，可得∠MEF=∠OHG$ $∴∠OGH=∠OHG$ $∴OG=OH$
$证明：∵BD,CE分别是边AC,AB上的中线$ $∴AD=\frac 12AC，AE=\frac 12AB,$ $即ED是△ABC的中位线$ $∴ ED//BC,ED=\frac 12BC$ $∵ M,N分别为线段BO和CO的中点$ $∴OM=BM,ON=CN,$ $MN是△OBC的中位线$ $∴ MN // BC, MN=\frac 12\ \mathrm {BC}$ $∴ ED//MN,ED=MN$ $∴四边形EDNM是平行四边形$ $∴ OE=ON,OD=OM$ $∵AB=AC$ $∴AE=AD$ $在△ABD和△ACE中$ $\begin{cases}AB=AC\\∠A=∠A\\AD=AE\end{cases}$ $∴△ABD≌△ACE$ $∴BD=CE$ $又∵OD= OM, OM= BM,$ $OE = ON,ON=CN$ $∴ DM=EN$ $∴四边形EDNM是矩形$
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