$解：(1)由题意得，设二次函数的表达式为y=a(x+1)^2+2$
$将点(0，\frac 32)代入，得到a=-\frac 12$
$∴y=-\frac 12(x+1)^2+2，函数图像如图所示$
$(2)证明：当x=m时，y=-\frac 12(m+1)^2+2=-\frac 12\ \mathrm {m^2}-m+\frac 32$
$当-\frac 12\ \mathrm {m^2}-m+\frac 32=-\mathrm {m^2}时，\frac 12\ \mathrm {m^2}-m+\frac 32=0$
$\mathrm {m^2}-2m+3=0$
$此时(-2)^2-4×3\lt 0$
∴此方程无解
$∴对任意实数m，点M(m，-\mathrm {m^2})都不在这个二次函数的图像上$
