第41页 - 通城学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

D

$(-2,0)$

$(2,0)$

$(t,3t)$

解:

 （2）①$\because$函数图象经过点$(1,-6)，$

 $\therefore -6=-1 - 1 + c，$

 移项可得$c=-6 + 1 + 1=-4。$

 $\therefore y=-x^{2}-x - 4。$

 设函数图象上的“三倍点”坐标为$(t,3t)。$

 $\therefore 3t=-t^{2}-t - 4，$

 移项得$t^{2}+4t + 4 = 0，$

 根据完全平方公式$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}，$这里$a=t，$$b = 2，$则$(t + 2)^{2}=0，$

 解得$t_{1}=t_{2}=-2。$

 $\therefore$函数$y=-x^{2}-x - 4$图象上的“三倍点”坐标为$(-2,-6)。$

 ②$\because y=-x^{2}-x - 4=-(x+\frac{1}{2})^{2}-\frac{15}{4}，$且$-3\leqslant x\leqslant1，$

 $\therefore$当$x = -\frac{1}{2}$时，$y$取最大值，即$M = -\frac{15}{4}。$

 又$\because$当$x = -3$时，$y=-(-3)^{2}-(-3)-4=-9 + 3 - 4=-10；$

 当$x = 1$时，$y=-1 - 1 - 4=-6，$

 $\therefore N = -10。$

 $\therefore M - N=-\frac{15}{4}-(-10)=-\frac{15}{4}+10=\frac{-15 + 40}{4}=\frac{25}{4}。$

解:

 （1）由题意，可设此抛物线对应的函数解析式为$y = a(x + 1)^{2}+c。$

 将$A(-3,0)，$$B(0,3)$代入，得$\begin{cases}4a + c = 0\\a + c = 3\end{cases}，$

 用$4a + c = 0$减去$a + c = 3$可得：

 $(4a + c)-(a + c)=0 - 3，$

 $4a + c - a - c=-3，$

 $3a=-3，$解得$a = -1。$

 把$a = -1$代入$a + c = 3，$得$-1 + c = 3，$解得$c = 4。$

 $\therefore$此抛物线对应的函数解析式为$y = -(x + 1)^{2}+4=-x^{2}-2x + 3。$

 （2）设直线$AB$对应的函数解析式为$y = kx + b。$

 将$A(-3,0)，$$B(0,3)$代入，得$\begin{cases}-3k + b = 0\\b = 3\end{cases}，$

 把$b = 3$代入$-3k + b = 0，$得$-3k+3 = 0，$

 移项可得$3k = 3，$解得$k = 1。$

 $\therefore y = x + 3。$

 过点$P$作$PQ\perp x$轴于点$Q，$交直线$AB$于点$M。$

 设点$P$的坐标为$(x,-x^{2}-2x + 3)(-3\lt x\lt0)，$则点$M$的坐标为$(x,x + 3)。$

 $\therefore PM=-x^{2}-2x + 3-(x + 3)=-x^{2}-3x。$

 $\therefore S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}(-x^{2}-3x)\times3=-\frac{3}{2}(x+\frac{3}{2})^{2}+\frac{27}{8}。$

 当$x = -\frac{3}{2}$时，$S_{\triangle PAB}$最大，为$\frac{27}{8}，$

 此时点$P$的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{15}{4})。$