解：（1）在$y = -x + 3$中，令$x = 0，$则$y = 3，$令$y = 0，$则$x = 3，$
$\therefore A(3,0)，$$B(0,3)。$把$A(3,0)，$$B(0,3)$代入$y = -x^{2}+bx + c，$
得$\begin{cases}-9 + 3b + c = 0 \\ c = 3 \end{cases}，$解得$\begin{cases}b = 2 \\ c = 3 \end{cases}。$
$\therefore$抛物线对应的函数解析式为$y = -x^{2}+2x + 3。$
（2）过点$P$作$PH\perp AB$于点$H，$过点$P$作$PM// y$轴，交$AB$于点$M。$设$P(m,-m^{2}+2m + 3)(0\lt m\lt 3)，$
则$M(m,-m + 3)。$$\therefore PM = -m^{2}+2m + 3 - (-m + 3)=-m^{2}+3m。$
$\therefore S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}PM\cdot|x_{A}-x_{B}|=\frac{1}{2}\times(-m^{2}+3m)\times3=-\frac{3}{2}m^{2}+\frac{9}{2}m。$
$\because A(3,0)，$$B(0,3)，$$\therefore$易得$AB = 3\sqrt{2}。$
$\therefore S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AB\cdot PH=\frac{3\sqrt{2}}{2}PH。$$\therefore\frac{3\sqrt{2}}{2}PH=-\frac{3}{2}m^{2}+\frac{9}{2}m。$
$\therefore PH = -\frac{\sqrt{2}}{2}m^{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}m = -\frac{\sqrt{2}}{2}(m - \frac{3}{2})^{2}+\frac{9\sqrt{2}}{8}。$
$\because -\frac{\sqrt{2}}{2}\lt0，$$\therefore$当$m = \frac{3}{2}$时，$PH$的长取得最大值，最大值为$\frac{9\sqrt{2}}{8}，$
此时$-m^{2}+2m + 3=-(\frac{3}{2})^{2}+2\times\frac{3}{2}+3=\frac{15}{4}。$$\therefore$点$P$的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{15}{4})。$
（3）$\because y = -x^{2}+2x + 3=-(x - 1)^{2}+4，$
$\therefore$抛物线$y = -x^{2}+2x + 3$的顶点的坐标为$(1,4)，$对称轴是直线$x = 1，$且抛物线开口向下。
①当$2 + t\leqslant1，$即$t\leqslant - 1$时，$y = -x^{2}+2x + 3$在$x = 2 + t$时取得最大值，在$x = t$时取得最小值，
$\therefore -(2 + t)^{2}+2(2 + t)+3 - (-t^{2}+2t + 3)=8，$解得$t = - 2。$
②当$t\lt1，$$2 + t\gt1$且$1 - t\geqslant(2 + t)-1，$即$-1\lt t\leqslant0$时，
$y = -x^{2}+2x + 3$在$x = 1$时取得最大值$4，$在$x = t$时取得最小值，
$\therefore 4 - (-t^{2}+2t + 3)=8，$解得$t = 2\sqrt{2}+1$（不合题意，舍去）或$t = -2\sqrt{2}+1$（不合题意，舍去）。
③当$t\leqslant1，$$2 + t\gt1$且$1 - t\lt(2 + t)-1，$即$0\lt t\leqslant1$时，$y = -x^{2}+2x + 3$在$x = 1$时取得最大值$4，$在$x = 2 + t$时取得最小值，
$\therefore 4 - [-(2 + t)^{2}+2(2 + t)+3]=8，$解得$t = 2\sqrt{2}-1$（不合题意，舍去）或$t = -2\sqrt{2}-1$（不合题意，舍去）。
④当$t\gt1$时，$y = -x^{2}+2x + 3$在$x = t$时取得最大值，在$x = 2 + t$时取得最小值，
$\therefore -t^{2}+2t + 3 - [-(2 + t)^{2}+2(2 + t)+3]=8，$解得$t = 2。$
综上所述，$t$的值是$-2$或$2。$
