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 解：（1）由题意，可得$y=(x - 10)[40-(x - 14)\times5]=-5x^{2}+160x - 1100。$

 $\therefore y$关于$x$的函数解析式为$y = -5x^{2}+160x - 1100。$

 （2）令$-5x^{2}+160x - 1100 = 175，$

 即$5x^{2}-160x + 1275 = 0，$$x^{2}-32x + 255 = 0，$

 $(x - 15)(x - 17)=0，$解得$x_{1}=15，$$x_{2}=17。$

 $\therefore$销售单价应定为$15$元或$17$元。

 （3）$y = -5x^{2}+160x - 1100=-5(x - 16)^{2}+180，$

 $\because -5\lt0，$$\therefore$当$x\lt16$时，$y$随$x$的增大而增大。

 又$\because$规定这种饮品的销售单价不得高于$20$元，

 $\therefore$当$x = 16$时，$y$取得最大值，此时$y = 180。$

 $\therefore$当销售单价定为$16$元时，每天的销售利润最大，最大利润是$180$元。

 解：（1）把$A(-2,0)，$$B(4,0)$代入$y = ax^{2}+x + c，$得$\begin{cases}4a - 2 + c = 0 \\ 16a + 4 + c = 0 \end{cases}，$

 解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{2} \\ c = 4 \end{cases}。$

 $\therefore$抛物线对应的函数解析式为$y = -\frac{1}{2}x^{2}+x + 4。$

 （2）联立$\begin{cases}y = -\frac{1}{2}x^{2}+x + 4 \\ y = -x - 1 \end{cases}，$

 即$-\frac{1}{2}x^{2}+x + 4=-x - 1，$$x^{2}-4x - 10 = 0，$

 解得$\begin{cases}x = 2+\sqrt{14} \\ y = -3-\sqrt{14} \end{cases}$或$\begin{cases}x = 2-\sqrt{14} \\ y = -3+\sqrt{14} \end{cases}。$

 $\because$点$D$在点$E$的右侧，$\therefore D(2+\sqrt{14},-3-\sqrt{14})，$$E(2-\sqrt{14},-3+\sqrt{14})。$

 $\because M$为直线$l$上的一动点，横坐标为$t，$$\therefore M(t,-t - 1)。$

 $\therefore N(t,-\frac{1}{2}t^{2}+t + 4)。$

 $\therefore MN = -\frac{1}{2}t^{2}+t + 4 - (-t - 1)=-\frac{1}{2}t^{2}+2t + 5。$

 $\therefore S_{\triangle NED}=\frac{1}{2}MN\cdot|x_{D}-x_{E}|=\frac{1}{2}\times(-\frac{1}{2}t^{2}+2t + 5)\times2\sqrt{14}=-\frac{\sqrt{14}}{2}(t - 2)^{2}+7\sqrt{14}。$

 $\because -\frac{\sqrt{14}}{2}\lt0，$$0\lt t\lt4，$$\therefore$当$t = 2$时，$S_{\triangle NED}$最大，为$7\sqrt{14}。$

 $\therefore\triangle NED$面积的最大值是$7\sqrt{14}。$

 解：（1）$\because$抛物线的顶点坐标为$(2,4)，$$\therefore$抛物线对应的函数解析式为$y = a(x - 2)^{2}+4。$

 将$C(0,2)$代入，得$2 = 4a + 4，$解得$a = -\frac{1}{2}。$

 $\therefore$抛物线对应的函数解析式为$y = -\frac{1}{2}(x - 2)^{2}+4。$

 （2）由$y = -\frac{1}{2}(x - 2)^{2}+4，$得抛物线的对称轴为直线$x = 2。$

 把$y = 0$代入$y = -\frac{1}{2}(x - 2)^{2}+4，$得$0 = -\frac{1}{2}(x - 2)^{2}+4，$解得$x = 2 - 2\sqrt{2}$或$x = 2 + 2\sqrt{2}。$

 $\therefore$点$A$的坐标为$(2 - 2\sqrt{2},0)，$点$B$的坐标为$(2 + 2\sqrt{2},0)。$

 如图，连接$BC，$交对称轴于点$P，$易知此时$AP + CP$最小。

 设直线$BC$对应的函数解析式为$y = kx + m。$

 将$B(2 + 2\sqrt{2},0)，$$C(0,2)$代入，得$\begin{cases}0=(2 + 2\sqrt{2})k + m \\ 2 = m \end{cases}，$解得$\begin{cases}k = 1 - \sqrt{2} \\ m = 2 \end{cases}。$

 $\therefore y=(1 - \sqrt{2})x + 2。$把$x = 2$代入$y=(1 - \sqrt{2})x + 2，$得$y = 4 - 2\sqrt{2}。$

 $\therefore$点$P$的坐标为$(2,4 - 2\sqrt{2})。$