解：
(1) 因为对称轴为直线$x = \frac{9}{4}，$根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}，$所以$-\frac{b}{2a}=\frac{9}{4}，$得$b = -\frac{9}{2}a$ ①。
将$A(3, - 3)$代入$y = ax^{2}+bx，$得$9a + 3b = - 3$ ②。
联立①②，将$b = -\frac{9}{2}a$代入$9a + 3b = - 3$中，有$9a+3\times(-\frac{9}{2}a)=-3，$即$9a-\frac{27}{2}a=-3，$$\frac{18a - 27a}{2}=-3，$$-\frac{9a}{2}=-3，$解得$a=\frac{2}{3}。$
把$a = \frac{2}{3}$代入$b = -\frac{9}{2}a，$得$b = -\frac{9}{2}\times\frac{2}{3}=-3。$
所以该抛物线对应的函数解析式为$y=\frac{2}{3}x^{2}-3x。$
(2) 由题意，可设$B(m,\frac{2}{3}m^{2}-3m)。$
如图①，过点$A$作$AE\perp y$轴于点$E，$过点$B$作$BF\perp EA，$交$EA$的延长线于点$F，$则易得$E(0, - 3)，$$F(m, - 3)。$
$\triangle OAB$的面积$S=\frac{1}{2}\times m\times(\frac{2}{3}m^{2}-3m + 3+3)-\frac{1}{2}\times3\times3-\frac{1}{2}\times(m - 3)\times(\frac{2}{3}m^{2}-3m + 3)=18。$
先化简$\frac{1}{2}\times m\times(\frac{2}{3}m^{2}-3m + 6)-\frac{9}{2}-\frac{1}{2}(m - 3)(\frac{2}{3}m^{2}-3m + 3)=18。$
$\frac{1}{3}m^{3}-\frac{3}{2}m^{2}+3m-\frac{9}{2}-\frac{1}{2}(\frac{2}{3}m^{3}-3m^{2}+3m - 2m^{2}+9m - 9)=18。$
$\frac{1}{3}m^{3}-\frac{3}{2}m^{2}+3m-\frac{9}{2}-\frac{1}{3}m^{3}+\frac{3}{2}m^{2}-\frac{3}{2}m + m^{2}-\frac{9}{2}m+\frac{9}{2}=18。$
$m^{2}-3m - 18 = 0，$因式分解得$(m - 6)(m + 3)=0，$解得$m = 6$或$m=-3$（不合题意，舍去）。
当$m = 6$时，$\frac{2}{3}m^{2}-3m=\frac{2}{3}\times6^{2}-3\times6=\frac{2}{3}\times36 - 18 = 24 - 18 = 6。$
所以$B(6,6)。$
(3) 存在。
因为$A(3, - 3)，$$B(6,6)，$且$C$为线段$AB$的中点，根据中点坐标公式$x=\frac{x_1 + x_2}{2}，$$y=\frac{y_1 + y_2}{2}，$可得$C(\frac{3 + 6}{2},\frac{-3+6}{2})，$即$C(\frac{9}{2},\frac{3}{2})。$
易得直线$OB$对应的函数解析式为$y = x。$设$P(t,t)。$
如图②，当$BP$为平行四边形的对角线时，$BC// A_{1}P，$$BC = A_{1}P。$因为$AC = BC，$所以$AC = A_{1}P。$
由对称性，可知$AC = A_{1}C，$$AP = A_{1}P，$所以$AP = AC。$
$AP=\sqrt{(t - 3)^{2}+(t + 3)^{2}}，$$AC=\sqrt{(3-\frac{9}{2})^{2}+(-3-\frac{3}{2})^{2}}=\sqrt{(-\frac{3}{2})^{2}+(-\frac{9}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{9 + 81}{4}}=\sqrt{\frac{90}{4}}=\frac{3\sqrt{10}}{2}。$
则$\sqrt{(t - 3)^{2}+(t + 3)^{2}}=\sqrt{(3-\frac{9}{2})^{2}+(-3-\frac{3}{2})^{2}}，$即$(t - 3)^{2}+(t + 3)^{2}=(3-\frac{9}{2})^{2}+(-3-\frac{3}{2})^{2}，$$t^{2}-6t + 9+t^{2}+6t + 9=\frac{9}{4}+\frac{81}{4}，$$2t^{2}+18=\frac{90}{4}，$$2t^{2}=\frac{90}{4}-18=\frac{90 - 72}{4}=\frac{18}{4}，$$t^{2}=\frac{9}{4}，$解得$t=\pm\frac{3}{2}。$
所以点$P$的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$或$(-\frac{3}{2},-\frac{3}{2})。$
如图③，当$BC$为平行四边形的对角线时，$BP// A_{1}C，$$BP = A_{1}C。$由对称性，可知$AC = A_{1}C，$所以$BP = AC。$
$BP=\sqrt{(6 - t)^{2}+(6 - t)^{2}}，$$AC=\sqrt{(3-\frac{9}{2})^{2}+(-3-\frac{3}{2})^{2}}。$
则$\sqrt{(6 - t)^{2}+(6 - t)^{2}}=\sqrt{(3-\frac{9}{2})^{2}+(-3-\frac{3}{2})^{2}}，$$(6 - t)^{2}+(6 - t)^{2}=(3-\frac{9}{2})^{2}+(-3-\frac{3}{2})^{2}，$$2(6 - t)^{2}=\frac{90}{4}，$$(6 - t)^{2}=\frac{45}{4}，$$6 - t=\pm\frac{3\sqrt{5}}{2}，$解得$t=\frac{3\sqrt{5}}{2}+6$或$t=-\frac{3\sqrt{5}}{2}+6。$
所以点$P$的坐标为$(\frac{3\sqrt{5}}{2}+6,\frac{3\sqrt{5}}{2}+6)$或$(-\frac{3\sqrt{5}}{2}+6,-\frac{3\sqrt{5}}{2}+6)。$
综上所述，点$P$的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$或$(-\frac{3}{2},-\frac{3}{2})$或$(\frac{3\sqrt{5}}{2}+6,\frac{3\sqrt{5}}{2}+6)$或$(-\frac{3\sqrt{5}}{2}+6,-\frac{3\sqrt{5}}{2}+6)。$
