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$ 解： $

 (1) 因为将$\triangle ACD$沿$CD$所在直线翻折，使点$A$恰好落在抛物线上的点$E$处，点$A$的坐标为$(3,0)，$点$D$的坐标为$(1,0)，$所以点$E$的坐标为$(-1,0)。$

 将$A(3,0)，$$E(-1,0)$代入$y=ax^{2}+bx + 3，$得$\begin{cases}9a+3b + 3 = 0\\a - b+3 = 0\end{cases}。$

 由$a - b+3 = 0$得$b=a + 3，$将$b=a + 3$代入$9a+3b + 3 = 0，$$9a+3(a + 3)+3 = 0，$$9a+3a+9 + 3 = 0，$$12a=-12，$解得$a=-1。$

 把$a=-1$代入$b=a + 3，$得$b = 2。$

 所以抛物线对应的函数解析式为$y=-x^{2}+2x + 3。$

 (2) 当$x = 0$时，$y=-1\times0^{2}+2\times0 + 3 = 3，$所以点$B$的坐标为$(0,3)。$

 设直线$AB$对应的函数解析式为$y=mx + n(m\neq0)。$将$A(3,0)，$$B(0,3)$代入，得$\begin{cases}3m + n = 0\\n = 3\end{cases}，$把$n = 3$代入$3m + n = 0，$得$3m=-3，$解得$m=-1。$

 所以直线$AB$对应的函数解析式为$y=-x + 3。$

 因为点$C$在直线$AB$上，$CD\perp x$轴于点$D(1,0)，$当$x = 1$时，$y=-1 + 3 = 2，$所以点$C$的坐标为$(1,2)。$

 因为点$A(3,0)，$点$B(0,3)，$点$C(1,2)，$点$E(-1,0)，$所以$AE = 4，$$OB = 3，$$CD = 2。$

 $S_{\triangle BCE}=S_{\triangle ABE}-S_{\triangle ACE}=\frac{1}{2}AE\cdot OB-\frac{1}{2}AE\cdot CD=\frac{1}{2}\times4\times3-\frac{1}{2}\times4\times2=6 - 4 = 2。$

 所以$\triangle BCE$的面积为$2。$

 (3) $(2,3)$或$(4,-5)。$

 解：

 (1) 把$B(3,m)$代入$y=x + 2，$得$m=3 + 2 = 5，$所以$B(3,5)。$

 把$A(-2,0)，$$B(3,5)$代入$y=-x^{2}+bx + c，$得$\begin{cases}-4-2b + c = 0\\-9+3b + c = 5\end{cases}。$

 用$-9+3b + c = 5$减去$-4-2b + c = 0$得：$(-9 + 3b + c)-(-4-2b + c)=5-0，$$-9 + 3b + c + 4 + 2b - c = 5，$$5b-5 = 5，$$5b = 10，$解得$b = 2。$

 把$b = 2$代入$-4-2b + c = 0，$得$-4-2\times2 + c = 0，$$c = 8。$

 所以抛物线对应的函数解析式为$y=-x^{2}+2x + 8。$

 (2) 设$P(t,-t^{2}+2t + 8)(-2\lt t\lt3)，$则$E(t,t + 2)，$$D(t,0)。$

 因为$PE = 2ED，$所以$-t^{2}+2t + 8-(t + 2)=2(t + 2)，$$-t^{2}+2t + 8 - t - 2 = 2t + 4，$$-t^{2}-t + 2 = 0，$$t^{2}+t - 2 = 0，$因式分解得$(t + 2)(t - 1)=0，$解得$t = 1$或$t=-2$（不合题意，舍去）。

 当$t = 1$时，$-t^{2}+2t + 8=-1^{2}+2\times1 + 8 = 9。$

 所以点$P$的坐标为$(1,9)。$

 (3) 存在。

 如图，过点$M$作$MK// y$轴，交直线$AB$于点$K。$

 在$y=-x^{2}+2x + 8$中，令$y = 0，$得$0=-x^{2}+2x + 8，$即$x^{2}-2x - 8 = 0，$因式分解得$(x + 2)(x - 4)=0，$解得$x=-2$或$x = 4。$

 因为$A(-2,0)，$所以$C(4,0)，$$AC = 6。$

 因为$B(3,5)，$所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times6\times5 = 15。$

 设$M(m,-m^{2}+2m + 8)，$则$K(m,m + 2)，$$MK=\vert -m^{2}+2m + 8-(m + 2)\vert=\vert -m^{2}+m + 6\vert。$

 $S_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}MK\cdot\vert x_{B}-x_{A}\vert=\frac{1}{2}\vert -m^{2}+m + 6\vert\times5=\frac{5}{2}\vert -m^{2}+m + 6\vert。$

 因为$\triangle ABM$的面积等于$\triangle ABC$面积的一半，所以$\frac{5}{2}\vert -m^{2}+m + 6\vert=\frac{1}{2}\times15，$$\vert -m^{2}+m + 6\vert = 3。$

 当$-m^{2}+m + 6 = 3$时，$-m^{2}+m + 3 = 0，$$m=\frac{-1\pm\sqrt{1 - 4\times(-1)\times3}}{2\times(-1)}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}；$

 当$-m^{2}+m + 6=-3$时，$-m^{2}+m + 9 = 0，$$m=\frac{-1\pm\sqrt{1 - 4\times(-1)\times9}}{2\times(-1)}=\frac{1\pm\sqrt{37}}{2}。$

 所以点$M$的坐标为$(\frac{1+\sqrt{13}}{2},\frac{11+\sqrt{13}}{2})$或$(\frac{1-\sqrt{13}}{2},\frac{11-\sqrt{13}}{2})$或$(\frac{1+\sqrt{37}}{2},\frac{-1+\sqrt{37}}{2})$或$(\frac{1-\sqrt{37}}{2},\frac{-1-\sqrt{37}}{2})。$