解：（1）$\because y = x^{2}-2x - 3=(x - 1)^{2}-4，$$\therefore$该二次函数图象的顶点坐标为$(1,-4)。$
（2）令$x = 0，$则$y=-3。$$\therefore$该二次函数图象与$y$轴的交点坐标为$(0,-3)。$令$y = 0，$则$x^{2}-2x - 3 = 0，$因式分解得$(x - 3)(x + 1)=0，$解得$x_{1}=3，$$x_{2}=-1。$$\therefore$该二次函数图象与$x$轴的交点坐标为$(3,0)$和$(-1,0)。$
（4）由函数图象可得，当$-1\leqslant x\leqslant2$时，$y$的取值范围是$-4\leqslant y\leqslant0。$
