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$75^{\circ}$

$6$

 （1）证明：因为$\triangle BOC$绕点$C$按顺时针方向旋转$60^{\circ}$得到$\triangle ADC，$

 所以$\triangle BOC\cong\triangle ADC，$$\angle OCD = 60^{\circ}。$

 所以$OC = DC。$

 所以$\triangle COD$是等边三角形。

 （2）解:$\triangle AOD$是等腰直角三角形。

 理由：因为$\triangle COD$是等边三角形，所以$\angle COD=\angle ODC = 60^{\circ}。$

 因为$\triangle BOC\cong\triangle ADC，$所以$\angle BOC = \angle ADC = 150^{\circ}。$

 所以$\angle ADO=\angle ADC-\angle ODC = 150^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}。$

 因为$\angle AOD=\angle AOC-\angle COD = 105^{\circ}-60^{\circ}=45^{\circ}，$所以$\angle OAD = 45^{\circ}。$

 所以$\angle OAD=\angle AOD。$

 所以$OD = AD。$

 所以$\triangle AOD$是等腰直角三角形。

证明： （1）因为在正方形$ABCD$中，点$E，$$F$在对角线$BD$上，

 所以$\angle ADF = 45^{\circ}，$$\angle BAD = 90^{\circ}。$

 因为$\triangle ADF$绕点$A$按顺时针方向旋转$90^{\circ}$得到$\triangle ABQ，$

 所以$\angle QAB=\angle FAD，$$BQ = DF，$$AQ = AF，$$\angle ABQ=\angle ADF = 45^{\circ}。$

 所以$\angle QAF=\angle QAB+\angle BAF=\angle FAD+\angle BAF=\angle BAD = 90^{\circ}。$

 因为$\angle EAF = 45^{\circ}，$所以$\angle EAQ = 45^{\circ}。$

 所以$\angle EAQ=\angle EAF。$

 在$\triangle AQE$和$\triangle AFE$中，

 $\begin{cases}AQ = AF\\\angle EAQ=\angle EAF\\AE = AE\end{cases}，$所以$\triangle AQE\cong\triangle AFE。$

 所以$\angle AEQ=\angle AEF。$

 所以$EA$是$\angle QED$的平分线。

 （2）由（1），得$\triangle AQE\cong\triangle AFE，$所以$EQ = EF。$

 因为四边形$ABCD$是正方形，所以$\angle ABD = 45^{\circ}。$

 又因为$\angle ABQ = 45^{\circ}，$所以$\angle QBE = 90^{\circ}。$

 所以在$Rt\triangle QBE$中，$EQ^{2}=BE^{2}+BQ^{2}。$

 又因为$BQ = DF，$所以$EF^{2}=BE^{2}+DF^{2}。$